"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 484, стр. 115-120

Вложение элементарной сети в промежуток сетей

В. А. Койбаев

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, ул. Ватутина 46, 362025, Владикавказ, Россия; Южный математический институт ВНЦ РАН, ул. Ватутина, 53, 362027, Владикавказ, Россия

koibaev-K1@yandex.ru

Аннотация: Пусть $R$ -- произвольное коммутативное кольцо с единицей, $n$ -- натуральное число, $n\geq 2$. Система $ \sigma = (\sigma_{ij})$, $ 1\leq{i, j} \leq{n} $, аддитивных подгрупп $\sigma_{ij}$ кольца $R$ называется сетью (ковром) над кольцом $R$ порядка $n$, если $ \sigma_{ir} \sigma_{rj} \subseteq{\sigma_{ij}}$ при всех значениях индексов $i, r, j.$ Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер). Предположим, что $n\geq 3$. Рассмотрим набор $\omega = (\omega_{ij})$ аддитивных подгрупп $\omega_{ij}$ кольца $R$, определенных для любых $i\neq{j}$ следующим образом: $ \omega_{ij} = \sum\limits_{k=1}^{n}\sigma_{ik}\sigma_{kj},$ где суммирование берется по всем $k$, отличным от $i$ и $j$. Набор $\omega = (\omega_{ij})$ аддитивных подгрупп $\omega_{ij}$ кольца $R$ является элементарной сетью, которую мы называем \textit{элементарной производной сетью.} Диагональ производной сети $\omega$ определим формулой $ \omega_{ii}=\sum\limits_{k\neq s}\sigma_{ik}\sigma_{ks}\sigma_{si}$ $(1\leq i\leq n)$, где суммирование ведется по всем $1 \leq{k\neq{s}}\leq{n} $. Доказан следующий результат. Элементарная сеть $\sigma$ индуцирует производную сеть $\omega=(\omega_{ij}) $ и сеть $\Omega=(\Omega_{ij})$, ассоциированную с элементарной группой $E(\sigma)$, причем $ \omega\subseteq \sigma \subseteq \Omega$, $ \omega_{ir}\Omega_{rj} \subseteq \omega_{ij}$, $\Omega_{ir}\omega_{rj} \subseteq \omega_{ij}$ $(1\leq i, r, j\leq n). $ В частности, матричное кольцо $M(\omega)$ является двустонним идеалом кольца $M(\Omega)$. Для сетей порядка $n=3$ дается существенное уточнение. Библ. -- 7 назв.
Ключевые слова: сети, ковры, элементарные сети, замкнутые элементарные сети, допустимые элементарные сети, производная сеть, элементарная сетевая группа [nets, carpets, elementary nets, closed elementary nets, admissible elementary nets, derivative net, elementary net group]

Полный текст(.pdf)