"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 478, стр. 108-127
Вербальные отображения групп Шевалле над бесконечными полями
Е. А. Егорченкова
Российский Государственный
Педагогический университет им. А. И. Герцена, Мойка 48, 191186,
Ст.Петербург, Россия
e-egorchenkova92@mail.ru
- Аннотация:
Пусть $G$ -- односвязная группа Шевалле над бесконечным полем $K$, а $\mathbf{w}: G^n\rightarrow G$ вербальное отображение, соответствующее
нетривиальному слову $w$. В работе Isr. J. Math. {\bf 210} (2015), 81--100, было доказано, что если $w = w_1w_2w_3w_4$
-- произведение четырех слов от независимых переменнных, то любой нецентральный элемент группы
$G$ содержится в образе отображения $\mathbf{w}$. В Archiv der Math. {\bf 112} (2019), No. 2, 113--122, аналогичный результат был доказан для слова $w = w_1w_2w_3$, являющегося произведением трех независимых слов, однако, при условии, что группа $G$ не является группой типов $B_2, G_2$. В данной работе показано, что для групп типов $B_2, G_2$ все элементы большой клетки Брюа $B\, n_{w_0}\, B$ содержатся в образе $\mathbf{w}$ для слова $w = w_1w_2w_3$, являющегося произведением трех независимых слов. Для групп типа $A_r, C_r, G_2$
(соответственно, для групп типа $A_r$) или групп
над совершенным полем $K$
(cоответственно, над совершенным полем $K$, у которого характеристика $\mathrm{char} K$ -- не плохое простое число для $G$),
когомологическая размерность которого $\leq 1$, показано, что все регулярные расщепимые полупростые
(соответственно, регулярные унипотентные)
элементы группы $G$ содержатся в образе отображения $\mathbf{w}$ для слова $w = w_1w_2$, являющегося произведением двух независимых слов. Также для любой изотропной (не обязательно расщепимой) алгебраической группы $\mathcal G$ над полем $K$ характеристики ноль показано, что для вербального отображения
$\mathbf{w}: \mathcal{G}(K)^n\rightarrow \mathcal{G}(K)$, где $w = w_1w_2$ -- произведение двух независимых слов, любой унипотентный элемент содержится в $\Im \mathbf{w}$.
Библ. -- 19 назв.
- Ключевые слова: вербальные отображения, группы Шевалле, простые алгебраические групы
[ word maps, Chevalley groups, simple algebraic groups]
Полный текст(.pdf)