"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 470, стр. 88-104

Произведения коммутаторов полной линейной группы над телом

Е. А. Егорченкова, Н. Л. Гордеев

Факультет математики Российского Государственного Педагогического Университета им. А. И. Герцена, Мойка 48, 191186 С.Петербург, Россия

e-egorchenkova@mail.ru

Факультет математики Российского Государственного Педагогического Университета им. А. И. Герцена; Математико-механический факультет Ст.Петербургского государственного университета, университетский проспект 28, 198504, Петергоф, Россия

nickgordeev@mail.ru

Аннотация: Мы рассматриваем вербальное отображение $\bf{w}: \GL_m(D)^{2k}\to \mathrm{GL}_n(D)$ и $\bf{w}: D^{*2k} \to D^*$ для слова $w = \prod\limits_{i=1}^k[x_i, y_i]$, где $D$ -- тело над полем~$K$. Если $\bf{w}(D^{*2k}) = [D^*, D^*]$, то мы доказываем, что $\bf{w}(\GL_n(D)) \supset E_n(D)\setminus Z(E_n(D))$, где $E_n(D)$ -- подгруппа $\mathrm{GL}_n(D)$, порожденная трансвекциями, а $Z(E_n(D))$ -- ее центр. Если к тому же $n > 2$, то мы доказываем, что $\w(E_n(D))\supset E_n(D)\setminus Z(E_n(D))$. Доказательство результата опирается на ``разложение Гаусса с заданной полупростой частью'' группы $\mathrm{GL}_n(D)$, которое также рассматривается в этой статье. Библ. -- 18 назв.
Ключевые слова:коммутаторы, коммутаторная длина, полная линейная группа, тела [commutators, commutator length, word maps, general linear group, division algebras]

Полный текст(.pdf)