"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 443, стр. 151-221
Коммутаторы в классических группах
Р. Хазрат, Н. А. Вавилов, Чжанг Дзухонг
Centre for Research in Mathematics,
Western Sydney University,
Australia
r.hazrat@WesternSydney.edu.au
С.-Петербургский
государственный университет,
Университетский пр. 28,
Петродворец, 198504 Санкт-Петербург, Россия
nikolai-vavilov@yandex.ru
Department of Mathematics, Beijing Institute of Technology, Beijing, China
zuhong@gmail.com
- Аннотация:
Полвека назад в основополагающей работе Хайман Басс установил
коммутационные формулы для (предельных) полных линейных групп,
которые были ключевым шагом в определении групп $K_1$.
А именно, он доказал, что для произвольного ассоциативного кольца
с 1 выполняются равенства
$$
E(A)=[E(A),E(A)]=[\text{GL}(A),\text{GL}(A)],
$$
где $\text{GL}(A)$ -- предельная полная линейная группа, а $E(A)$ -- ее
элементарная подгруппа. С тех пор различные коммутационные формулы изучались в стабильных
и нестабыльных контекстах для самых различных групп, таких как классические группы,
алгебраические группы и их аналоги; в основном в связи с описанием субнормальных подгрупп в этих
группах. Основные классические теоремы и развитые для их доказательства методы
связаны с именами героев классической алгебраической $K$-теории: Бака, Квиллена, Милнора,
Суслина, Суона, Васерштейна и других.
Основная технике, использовавшаяся для доказательства коммутационных формул, это локализационные методы.
В настоящей работе мы описываем некоторые недавние приложения локализационных методов
к изучению высших/относительных коммутаторов в группах точек алгебраических
и подобных им групп, таких как полные линейные группы $\text{GL}(n,A)$,
унитарные группы $\text{GU} (2n, A,\Lambda)$ и группы Шевалье $G(\Phi, A)$.
Мы также формулируем некоторые вспомогательные результаты и следствия наших основных результатов.
Эти записки дают общий обзор предмета и покрывают некоторые последние достижения.
Чтобы дать читателю независимый источник, мы приводим полные доказательства нескольких основных результатов.
Библ. -- 142 назв.
- Ключевые слова:
[general linear groups, unitary groups, Chevalley groups,
elementary subgroups,
elementary generators, localisation, relative subgroups,
conjugation calculus, commutator calculus, Noetherian reduction,
the Quillen--Suslin lemma, localisation-completion, commutator
formulae, commutator width, nilpotency of $\K_1$, nilpotent
filtration]
Полный текст(.pdf)