"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 375, стр. 130-139

О подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор

В. А. Койбаев, А. В. Шилов

Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л.Хетагурова, ул.~Ватутина, 46, 362025, Владикавказ, Россия

koibaev-K1@yandex.ru

Южный математический институт ВНЦ РАН, ул. Маркуса, 27, 362027, Владикавказ, Россия

Аннотация: Пусть $K=k(\sqrt[n]{d})$ -- радикальное расширение степени $n$ поля $k$ нечетной характеристики, $T=T(d)$ -- нерасщепимый максимальный тор, который является образом мультипликативной группы поля $K$ при регулярном вложении в $G=\GL(n,k)$. В работе исследуется структура промежуточных подгрупп $H, T\leq{H}\leq{G}$, содержащих трансвекцию. Элементы матриц тора $T=T(d)$ порождают в поле $k$ некоторое подкольцо $R(d)$. Пусть $R$ -- промежуточное подкольцо, $R(d)\subseteq{R}\subseteq{k}$, $d\in{R}$. Через $\sigma_{R}$ обозначим сеть, у которой на главной диагонали и выше стоит идеал $dR$, а ниже диагонали - $R$, а через $\sigma^{R}$ -- сеть, у которой на главной диагонали и ниже стоит $R$, а выше -- $dR$. Пусть, далее, $E(\sigma_{R})$ -- подгруппа, порожденная всеми трансвекциями из сетевой группы $G(\sigma_{R})$. В работе доказано, что произведение $T E(\sigma_{R})$ является группой (а потому -- промежуточной подгруппой). Далее, если сеть $\sigma$, ассоциированная с промежуточной подгруппой $H$, совпадает с $\sigma_{R}$, то $TE(\sigma_{R})\leq{H}\leq{N(\sigma_{R})}$, где $N(\sigma_{R})$ -- нормализатор элементарной сетевой группы $E(\sigma_{R})$ в $G$. Для нормализатора $N(\sigma_{R})$ имеет место формула $N(\sigma_{R})= T G(\sigma^{R})$. В частности, этот результат дает возможность, описания максимальных промежуточных подгрупп. Библ. -- 13 назв.
Ключевые слова: надгруппы, промежуточные подгруппы, нерасщепимый максимальный тор, трансвекция [overgroups, intermediate subgroups, non-split maximal torus, transvection]

Полный текст(.pdf)