"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 388, стр. 17-47

Унитреугольные факторизации групп Шевалле

Н.А. Вавилов, А.В. Смоленский, Б. Сури

С.-Петербургский государственный университет, Университетский пр. 28, Петродворец, 198504 Санкт-Петербург, Россия

nikolai-vavilov@yandex.ru

andrei.smolensky@gmail.com

surybang@gmail.com

Аннотация:В последние годы в нескольких различных контекстах рассматривалась следующая задача: найти кратчайшую факторизацию $G=UU^-\break UU^-\ldots U^{\pm}$ группы Шевалле $G=G(\Phi,R)$ в терминах унипотентного радикала $U=U(\Phi,R)$ борелевской подгруппы $B=B(\Phi,R)$ и унипотентного радикала $U^-=U^-(\Phi,R)$ противоположной борелевской подгруппы $B^-=B^-(\Phi,R)$. Рекордный результат над конечным полем получен в работе Бабаи, Николова и Пибера 2010 года, где доказано, что для конечных групп типа Ли имеет место унитреугольная факторизация $G=UU^-UU^-U$ длины 5. При этом доказательство в их работе использует сложные аналитические и комбинаторные средства. В настоящей работе мы замечаем, что из работ Басса и Тавгеня сразу вытекает гораздо более общий результат, состоящий в том, что для любого кольца стабильного ранга 1 имеет место унитреугольная факторизация $G=UU^-UU^-$ длины 4. Кроме того, мы подробно обсуждаем всю эту проблематику, доказываем некоторые близкие результаты, обсуждаем перспективы обобщения на другие кольца и формулируем несколько нерешенных задач в этой области. Второй основной результат работы состоит в том, что в предположении обобщенной гипотезы Римана группа Шевалле над кольцом ${\mathbb Z}\Big[\displaystyle{1\over p}\Big]$ допускает унитреугольную факторизацию $G=UU^-UU^-UU^-$ длины 6. Лучшая до сих пор оценка для областей Хассе с бесконечной мультипликативной группой, вытекающая из работы Кука и Уайнбергера, давала 9 множителей. Библ. -- 67 назв.
Ключевые слова: Группы Шевалле, унитреугольные факторизации, унипотентные факторизации, кольца стабильного ранга 1, дедекиндовы кольца арифметического типа, параболические подгруппы, ограниченное порождение, разложение Гаусса, LULU-разложение [Chevalley groups, unitriangular factorisations, unipotent factorisations, rings of stable rank 1, Dedekind rings of arithmetic type, parabolic subgroups, bounded generation, Gauss decomposition, LULU-decomposition]

Полный текст(.pdf)